公务员考试笔试辅导：快速解决两集合容斥问题

【2014年深圳公务员考试最新笔试备考专题】

　　“容斥原理”问题在近5年广东省考中连续三年被考到，其中有一年考的是三集合，两年考的是两集合，可见出题率还是比较高的。那么我们就来看一看当遇到“两集合容斥”问题时该如何快速、准确地解答。

　　首先，两集合容斥原理的题目有以下特征：总数、满足A条件的、满足B条件的、两者都满足的、两者都不满足的。题目类型基本都是以上5个要素知4求1。那么如何求比较快速呢?我们给出一个公式：

　　满足条件A + 满足条件B –两者都满足 = 总数–两者都不满足

　　那么这个公式具体是如何而来的呢?我们通过一个图形来说明：

　　图中，方框表示总数集合，红色圆圈代表满足A条件的集合，绿色圆圈表示满足B条件的集合，两圆相交部分表示A、B两条件都满足的集合，而两个圆环外的部分则表示A、B条件都不满足的集合。

　　那么我们通过“面积”，来推导公式。

　　假设红色圆环A的面积为A，绿色圆环B的面积为B，总面积为“总”，A、B两圆环相交部分的面积为“A∩B”，而两圆环都不覆盖的面积为“非A非B”。

　　那么A、B两圆环所覆盖的面积有多少呢?我们先用A+B得到两圆环各自总面积之和，那么此时，两者相交部分在式中“A”被加了一次，再“B”中又被加了一次，多了一次，所以要将这多加的一次减掉。即两圆环所覆盖的面积应该为A+B-A∩B。

　　我们再通过另一种角度计算两圆环覆盖的面积：用方形的总面积-A、B都不覆盖的面积，即，总-非A非B。

　　两种角度计算出的都是两圆环覆盖的面积，所以它们相等，即：

　　A+B-A∩B=总-非A非B

　　我们的两集合标准公式也就是这么来的。考生在考试中可以直接套用之，省去逻辑推理的过程，节省时间，简化计算。

　　下面我们通过一道广东省考的真题，来看一看这个公式如何套用，是否好用。

　　(广东2009-46)旅行社对120人的调查显示，喜欢爬山的与不喜欢爬山的人数比为5∶3;喜欢游泳的与不喜欢游泳的人数比为7∶5;两种活动都喜欢的有43人。对这两种活动都不喜欢的人数是()。

　　A. 18

　　B. 27

　　C. 28

　　D. 32

　　拿到题目后，发现题目中直接给出了总人数共120人、两个条件都满足的人数共43人，又分别间接地给出了满足条件A与条件B的人数。即喜欢爬山的有120×5/8=75人，喜欢游泳的120×7/12=70人。问题要求两条件都不满足的人数。

　　直接套用公式：A+B-A∩B=总-非A非B，代入数字，75+70-43=120-非A非B，解得非A非B=18人。

　　因此，答案为A选项。

　　我们发现，相对于一步步分析，直接在题目中找出两集合容斥题型中的条件对应数值，套入公式计算十分迅速，也不容易出错。

　　那么我们再来看另一道省考真题。

　　(广东2010-53)某公司100名员工对甲、乙两名经理进行满意度评议，对甲满意的人数占全体参加评议的3/5，对乙满意的人数比甲的人数多6人，对甲、乙都不满意的占都满意人数的1/3还多2人，则对甲、乙都满意的人数是()。

　　A. 36人

　　B. 26人

　　C. 48人

　　D. 42人

　　拿到题目后发现符合两集合容斥问题的特征，那么首先求出公式中的各个因素。总人数100人，则对甲满意的有100×3/5=60人;对乙满意的有60+6=66人。而非A非B=1/3×A∩B+2。代入公式：60+66-A∩B=100-(1/3×A∩B+2)，解得A∩B=42。

　　因此，答案为D选项。

　　经过以上两道真题的练习，相信考生对两集合形式的容斥原理问题都有了一定的理解，对其快速的解法也有了一定的认识。考生再通过几道类似题型的练习，就可以熟练掌握这种两集合标准公式在公考行测中的使用，在考试中拿到这类题型的分数，而不再为其犯难。

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