2014广东乡镇公务员：关于构造数列问题的解题技巧

华图教育 刘娟文

　　通过梳理近6年(09年-14年)国考数学运算模块，可以发现构造问题共考查了7道，每年都会考一道，在13年甚至考查了2道。足以可见构造问题在数学运算模块中的地位。构造问题主要是考查一种极端思维方式，衍生自抽屉原理。因为在公务员的日常工作中，需要对各种极端情况做出相应的预案。正是在此背景下，构造问题在国考中频频出现。构造问题共包括最不利构造、构造数列、多集合反向构造三种情形。相对于其他模块来说，构造问题理解起来具有一定的难度，是整个数学模块中逻辑性要求最高的。但只要我们掌握对应的做题方法，解题并不复杂，甚至可以说按部就班。通过对7道国考真题进行分类，共考查了2道最不利构造，5道构造数列，没有考查多集合反向构造。构造问题最常考到的题型，我们将重点分析构造数列问题的解题技巧。

　　我们先来看如下几道例题：

　　例1 元宵节分汤圆，共有35颗汤圆，5个人分。要求每人至少分得1颗，且彼此所得颗数不同，问分得最多的人最少可分多少颗?

　　例2 元宵节分汤圆，共有35颗汤圆，5个人分。要求每人至少分得1颗，且彼此所得颗数不同，问分得最少的人最多可分多少颗?

　　例3元宵节分汤圆，共有35颗汤圆，5个人分。要求每人至少分得1颗，且彼此所得颗数不同，问分得第四多的人最多可分多少颗?

　　通过观察上面3道例题，我们发现一下子并没有太好的解题思路。但通过分析它们的问法可以发现，分别问的是“最多的...最少...”、“最少的...最多...”、“排第四的...最多...”。从问题出发，我们可以归纳出此类题型的明显特征。一般当题目问题中出现“最...最...”、“排第几...最...”时我们可以判定此题为构造数列问题，这一类题还有一个重要的前提就是每人都至少分得1个且彼此所得各不相同。

　　判断出题型特征之后，我们怎么解这类题呢?我们针对例题1总结出了如下的做题方法：

　　(1) 排序：由于5个人分得的汤圆颗数各不相同，我们依据每个人分得的汤圆颗数不同，对他们进行排名，排为1、2、3、4、5，排第1位的分得的最多，排第5位的分得的最少;

　　(2) 定位：题目问分得最多的人最少分多少颗，我们直接定位到排第1的，假设其分得x颗;

　　(3) 构造：根据题目要求，要使排第1名的分得得最少，等价于第2到5名的分得的尽可能多，先看第2名，一方面要求其分得的尽可能多，另一方面再怎么多也多不过排第1名，故可分得(x-1)颗，同理第3、第4、第5可分得(x-2)、(x-3)、(x-4)颗;

　　(4) 求和：根据题意，共有35颗汤圆，即x+(x-1)+(x-2)+(x-3)+(x-4)=35，由于构造的数列为等差数列，可以根据中位数公式： 5(x-2)=35，解得x=9,故分得最多的人最少可分得9颗。

　　我们用同样的方法来解例2和例3。先看例2，第一步先排序，排位1、2、3、4、5;第二步定位，问谁我们定位到谁，问分得最少的我们定位到第5名，设为x;第三步构造，要使第5名分得的最多，则要求排第1到第4的分得的尽可能少，看第4名，比第5名分得的多但要尽可能少，为(x+1)，另几个为(x+2)、(x+3)、(x+4);第四步求和，利用中位数公式5(x+2)=35，解得x=5,故分得最少的最多可分得5颗。再看例3，第一步同样是排序;第二步定位，我们直接定位到排第4名的，设为x;第三不构造，要使排第4名的最多，则要求第1到第3名以及第5名的尽可能少，先看第5名，最少就分得1颗，再看第3名，应分得(x+1)颗，第2、第1分别为(x+2)、(x+3)颗;第四部求和，1+x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=35,解得x=7颗，排第4名的最多可分得7颗。

　　通过上面3道例题，我们可以发现构造数列问题解题过程非常严格规范，理解也变得容易起来。再梳理一下以上解题过程，我们首先从题目的问题出发，判断是否属于构造数列问题。判断为构造数列后，然后根据总结的解题方法解题，先排序、再定位、然后构造、最后求和。通过以上四部，解决国考中的构造数列问题将不再困难。

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