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　　容斥问题在历年省考、国考中的出镜频率都很高，考生们需引起足够重视。深圳华图为大家列举比较典型的数量关系中的容斥问题题型解答分析，下面我们来看看这类型的问题应该怎么解答吧。

　　一、两者容斥的解法

　　对于容斥问题，解题关键是首先找到各个集合，然后理清各集合之间的关系，然后通过两大核心方法便可解决问题，两大核心方法为：

　　1、将所有区域化为一层

　　2、画文氏图

　　容斥问题考察的题型包括求定值、求极值，求定值通常考察两种题型——两者容斥、三者容斥，首先来看两者容斥问题：

　　例：大学四年级某班有50名同学，其中奥运会志愿者10人，全运会志愿者17人，30人两种志愿者都不是，则班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学是多少?

　　A.6 B.7 C.8 D.9

　　解析：第一步：根据题意画文氏图，描述出题中所涉及到的几个集合之间的容斥关系：

　　第二步：在集合当中把每一个独立的封闭区间，都用一个单独的字母来表示：

　　A表示是奥运会自愿者

　　B表示是全运会志愿者

　　I表示是全班人数

　　X表示全运会且奥运会志愿者

　　Y表示非奥运会且非全运会志愿者

　　第三步：根据题意建立等量关系，根据把重复数的次数变为只数1次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏的原则。

　　I=A+B-X+Y，所以X=A+B+Y-I=7(利用尾数法)。

　　结论：两者容斥问题，画图之后可知，两个圆相交的地方有1层、2层两种情况，当将两个集合相加的时候，2层部分多计算一次，故若想求全集，需要将重叠区域减掉，故两者容斥问题的公式为：全集I=A+B-X+Y(I代表全集，A、B分别代表两个集合，X代表两个集合的交集，Y代表集合之外的部分)

　　二、三者容斥的解法

　　接下来看三者容斥问题，三者容斥问题所给的已知条件不同，导致其公式不同。

　　首先来看第一种三者容斥问题：

　　例：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影都看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是多少人?

　　A、69 B、65 C、57 D、46

　　解析：第一步：根据题意描述出题中所涉及的几个集合之间的容斥关系

　　第二步：在集合当中把具有相似属性的封闭区间，都用一个单独的字母来表示。

　　A表示看甲片的人

　　B表示看乙片的人

　　C表示看丙片的人

　　X表示看过甲乙丙三种片子的人

　　Y表示三部电影都没看过的人

　　I表示总共接受调查的人数

　　O、P、Q表示看过两部片子的人

　　第三步：根据题意建立等量关系，根据把重复数的次数变为1次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏的原则。

　　I=A+B+C-O-P-Q-2X+Y,O+P+Q=A+B+C-2X+Y-I=89+47+63-2×24+20-125=尾数是6

　　结论：三者容斥问题，画图之后可知，三个圆相交的地方有1层、2层、3层三种情况，当将三个集合相加的时候，2层和3层区域分别多计算一次和两次，故若想求全集，需要将重叠区域减掉，故三者容斥问题的公式为：

　　I=A+B+C-O-P-Q-2X+Y

　　(I表示全集，A、B、C代表三个集合，O、P、Q表示两个只有两层的区域，X表示三层的区域，Y代表圆之外的部分)

　　第二种三者容斥问题，即容斥极值问题：

　　①(A∩B) =A+B-I(I表示全集)

　　例：小明、小刚两人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了68题，小刚做对了58题。问两人都最对的题目至少有几题?

　　②(A∩B∩C) =A+B+C-2I

　　例：小明、小刚和小红三人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了68题，小刚做对了58题，小红做对了78题。问三人都最对的题目至少有几题?

　　③(A∩B∩C∩D) =A+B+C+D-3I

　　依此类推……

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（编辑：深圳华图）